Appendice Matematica 18 Mathematical Appendix 18

Rete ${\Theta}$ tridimensionale e topologia discreta Three-Dimensional ${\Theta}$ Network and Discrete Topology

1. Lo spazio-tempo come rete discreta1. Spacetime as a Discrete Network

Consideriamo lo spazio-tempo come una struttura reticolare di nodi separati da intervalli temporali ${\Theta}$ e spaziali $\Delta x$. L’universo può essere visto come una griglia 4D discreta di coordinate:We consider spacetime as a lattice structure of nodes separated by temporal intervals ${\Theta}$ and spatial intervals $\Delta x$. The universe can be seen as a discrete 4D grid of coordinates:

$$ (x, y, z, t) = (i \cdot \Delta x, j \cdot \Delta x, k \cdot \Delta x, n \cdot \Theta) $$

dove $i, j, k, n \in \mathbb{N}$. Ogni evento accade in una cellula della rete.where $i, j, k, n \in \mathbb{N}$. Each event occurs in a cell of the network.

2. Topologia discreta e vicinato2. Discrete Topology and Neighborhood

Ogni nodo è connesso a un numero finito di nodi adiacenti, definendo un “vicinato” di primo ordine:Each node is connected to a finite number of adjacent nodes, defining a first-order "neighborhood":

$$ V(i, j, k, n) = \{ (i \pm 1, j, k, n), \dots, (i, j, k, n \pm 1) \} $$

Questa definizione è la base per formulare il movimento e l’interazione nella rete ${\Theta}$.This definition is the basis for formulating movement and interaction on the ${\Theta}$ network.

3. Derivazione discreta3. Discrete Differentiation

Sia $\Phi(i, j, k, n)$ una funzione scalare sui nodi. La derivata discreta nel tempo è:Let $\Phi(i, j, k, n)$ be a scalar function on the nodes. The discrete time derivative is:

$$ \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = \frac{\Phi(i, j, k, n + 1) - \Phi(i, j, k, n)}{\Theta} $$

E nello spazio (es. direzione x):And in space (e.g., x-direction):

$$ \frac{\Delta\Phi}{\Delta x} = \frac{\Phi(i + 1, j, k, n) - \Phi(i, j, k, n)}{\Delta x} $$

4. Propagazione dell’informazione4. Information Propagation

La velocità massima di propagazione di un segnale nella griglia è:The maximum propagation speed of a signal on the grid is:

$$ c = \frac{\Delta x}{\Theta} $$

Ciò implica che un segnale può spostarsi al massimo di una cella spaziale per ogni click temporale.This implies that a signal can move at most one spatial cell per temporal click.

5. Curvatura discreta e massa5. Discrete Curvature and Mass

In prossimità di una massa $m$, il ritmo temporale si dilata. Indichiamo questa variazione come:Near a mass $m$, the temporal rhythm dilates. We denote this variation as:

$$ \Theta_m = \gamma(m) \cdot \Theta \quad (\text{con } \gamma(m) > 1) $$

La griglia si deforma, il che equivale a una curvatura della metrica discreta.The grid deforms, which is equivalent to a curvature of the discrete metric.

6. Distanza discreta6. Discrete Distance

La distanza tra due eventi nella griglia è data dal conteggio minimo dei click necessari. Una possibile metrica è:The distance between two events on the grid is given by the minimum count of clicks required. A possible metric is:

$$ D = \sqrt{ (\Delta i)^2 + (\Delta j)^2 + (\Delta k)^2 - \left(\Delta n \right)^2 } $$

7. Simulazione numerica7. Numerical Simulation

L’universo, descritto da questa struttura, può essere modellato numericamente con regole discrete, come leggi di evoluzione basate su operatori di differenza e interazioni per scambi tra nodi adiacenti.The universe, described by this structure, can be modeled numerically with discrete rules, such as evolution laws based on difference operators and interactions via exchanges between adjacent nodes.