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Appendice Matematica 17 Mathematical Appendix 17

Schrödinger riformulato su $n\Theta$ Schrödinger Reformulated on $n\Theta$

1. Premessa1. Premise

La formulazione classica dell'equazione di Schrödinger prevede una variabile temporale continua $t$. Ma nella teoria del Tempo di Oblivion, il tempo è discreto, scandito da click di durata ${\Theta}$. L'evoluzione di una funzione d’onda non è più un flusso continuo, ma una successione di stati quantistici discreti, numerati da un indice intero $n$, tale che:The classical formulation of the Schrödinger equation assumes a continuous time variable $t$. But in the Oblivion Time theory, time is discrete, paced by clicks of duration ${\Theta}$. The evolution of a wave function is no longer a continuous flow, but a succession of discrete quantum states, numbered by an integer index $n$, such that:

$$ t = n \cdot \Theta $$

2. Equazione di Schrödinger (forma continua)2. Schrödinger Equation (Continuous Form)

La forma classica (una dimensione spaziale) è:The classical form (one spatial dimension) is:

$$ i\hbar \frac{\partial\psi(x, t)}{\partial t} = \hat{H} \psi(x, t) $$

dove $\hbar$ è la costante di Planck ridotta e $\hat{H}$ è l’operatore Hamiltoniano.where $\hbar$ is the reduced Planck constant and $\hat{H}$ is the Hamiltonian operator.

3. Riformulazione discreta3. Discrete Reformulation

Sostituendo il tempo continuo con $n \cdot \Theta$, la derivata temporale diventa una differenza finita:Replacing continuous time with $n \cdot \Theta$, the time derivative becomes a finite difference:

$$ \frac{\partial\psi(x, t)}{\partial t} \approx \frac{\psi(x, n+1) - \psi(x, n)}{\Theta} $$

L'equazione di Schrödinger discreta diventa quindi una regola di aggiornamento per lo stato successivo $\psi(x, n+1)$:The discrete Schrödinger equation thus becomes an update rule for the next state $\psi(x, n+1)$:

$$ \psi(x, n+1) \approx \psi(x, n) - \frac{i\Theta}{\hbar} \hat{H} \psi(x, n) $$

4. Evoluzione iterativa4. Iterative Evolution

L'evoluzione può essere descritta in modo ricorsivo tramite un operatore di evoluzione temporale $U(\Theta)$:The evolution can be described recursively using a time evolution operator $U(\Theta)$:

$$ \psi(x, n+1) = U(\Theta) \cdot \psi(x, n) $$

dove l'operatore, nella sua forma più rigorosa e unitaria, è:where the operator, in its most rigorous and unitary form, is:

$$ U(\Theta) = \exp\left(-\frac{i\hat{H}\Theta}{\hbar}\right) $$

Questa versione esponenziale descrive un’evoluzione unitaria tra istanti discreti.This exponential version describes a unitary evolution between discrete instants.

5. Caso semplice: particella libera5. Simple Case: Free Particle

Per una particella libera, con $\hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2}$, l'equazione di aggiornamento diventa:For a free particle, with $\hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2}$, the update equation becomes:

$$ \psi(x, n+1) \approx \psi(x, n) + \frac{i\hbar\Theta}{2m} \frac{\partial^2\psi(x, n)}{\partial x^2} $$

Conclusione6. Conclusion

  • La meccanica quantistica può essere espressa in termini discreti.Quantum mechanics can be expressed in discrete terms.
  • L’evoluzione del sistema è ritmica, non continua.The evolution of the system is rhythmic, not continuous.
  • La funzione d’onda è una successione di stati determinati, collegati da trasformazioni unitarie.The wave function is a sequence of determined states, connected by unitary transformations.